Ici on a que $\ln$ n'est pas continue en $0$. On regarde l'existence de la limite $\int_\epsilon^1 \ln(x) dx$ quand $\epsilon\to 0^+$. Quand elle existe et qu'elle est finie on dit que $\int_0^1 \ln(x) dx$ converge, sinon on dit l'intégrale diverge.
L'intégrale est dite "généralisée" ou "impropre".
Il est rare de pouvoir calculer les intégrales explicitement. On utilise alors volontiers des théorèmes de comparaison.
Attention, ici on utilise de façon cruciale l'hypothèse de positivité des fonctions.
On essaye une première fois le critère de comparaison. Le premier point est qu'on peut toujours séparer le comportement sur un compact du comportement en l'infini.
L'idée ici est d'améliorer l'efficacité du critère. Pour cela on va comparer avec le critère de Riemann. Encore une fois, on peut "oublier" ce qui se passe sur un compact.
On combine le critère de Riemann avec le critère de comparaison.
On donne un autre résultat important. C'est le critère d'absolue convergence. Sa démonstration repose sur la complétude de $\mathbb{R}$.
On donne une application directe ici.
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