MathemaTICE

Les TICE sont essentiels pour l'oral du CAPES mais aussi dans le métier de professeurs de mathématique. 

La revue MathemaTICE est une revue collaborative portant sur l’utilisation des TICE en classe de Mathématiques. Elle est collaborative car elle se nourrit essentiellement des témoignages, des expériences et des recherches des professeurs de Mathématiques et des chercheurs, en coopération avec le comité de rédaction pour enrichir ou expliciter certains points des articles proposés.

Suite récurrente + fonction décroissante + vitesse de convergence

On s'intéresse ici à $u_{n+1}:= f(u_n)$ avec $f(x) = \frac{x+3}{2x}$ et $u_0:=1$.

On commence par trouver le sens de variation de $f$

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On calcule les premiers termes

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On montre par récurrence que la suite est bornée dans un certain intervalle. Ici l'exercice est guidé. Une difficulté est de trouver cet type d'intervalle en général. Pour cela, il peut-être utile d'utiliser un logiciel ou d'analyser finement le comportement de $f$.

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On passe à la croissance de $(u_{2n})_n$. Dans le cas général, on sait juste quelle est monotone. On s'aide alors des deux premiers termes pour en savoir plus.

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On conclue rapidement pour les termes impaires.

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On cherche le point fixe de $(f\circ f)(x)=x$. Cette étape est toujours présente dans le cas où $f$ est décroissante.

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Le choix de l'intervalle qui est fait plus haut est bon car il nous permet d'éliminer une autre limite possible. On conclue à la convergence de la suite et on donne sa limite.

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Pour étudier la vitesse de convergence, cette technique est basée sur le fait que la dérivée est strictement plus petite que $1$ en module sur l'intervalle. Il faut parfois prendre un intervalle plus petit. 

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Cette partie est toujours la même. Elle est aussi une application des suites géométriques.

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On obtient la vitesse de convergence.

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On peut enfin conclure et donner une approximation précise.

7x13=28

Suite récurrente, cas d'une fonction décroissante

On étudie maintenant une suite récurrente de type $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f$ décroissante. L'analyse est plus longue et de nouveaux phénomèmes apparaissent par rapport au cas où $f$ est croissante. Il est conseillé de bien maitrisé le cas croissant en premier.

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On se propose ici d'étudier $u_{n+1}:= \frac{1}{u_n}+\frac{1}{2}$ avec $u_0:=\frac{1}{2}$. Le dessin en escargot nous permet de conjecturer que $(u_n)_n$ converge.

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Ici on fera attention à la rédaction. Celle qui est proposée ici n'est pas "conventielle". On se reportera aux autres posts pour une "bonne" rédaction.

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Ici on voit le point qui diffère par rapport au cas croissant. Le résultat obtenu est sur les suites d'index pairs et d'indices impaires.

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La rédaction est importante. Il est crucial de bien préciser que $f$ est décroissante et que $(u_k)_k$ est dans le bon intervalle. 

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On passe au termes impaires assez simplement.

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On déduit facilement que les suites convergent. Attention on ne sait pas si c'est vers la même limite !! Il faut le montrer. Il est possible de trouver des exemples où ces limites sont distinctes alors prenez gare !

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La limite est la solution de $x = (f\circ f)(x)$. C'est un deuxième point de différence ! Le calcul peut-être pénible si l'exercice est donné au hasard.

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Ici nous avons la chance de n'avoir qu'une seule solution dans l'intervalle $I$. Ce n'est pas une obligation en général !

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Comme il n'existe une seule limite possible pour les deux suites extraites alors, en citant le théorème, on déduit que $(u_n)_n$ converge.

Domaine (de dérivation) d'une fonction racine

Ici on traite un exemple de traitement de fonction formée avec des racines. Avant toute chose, il faut se souvenir que $\sqrt{\cdot}$ est continue sur $[0, \infty[$ et $C^\infty$ sur $]0,\infty[$. Elle n'est pas dérivable en $0$.

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De plus par composition des fonctions, la fonction est continue sur son domaine.

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Valeurs absolues et inégalités

On rappelle maintenant comment l'on résout une inégalité comportant des valeurs absolues.

En premier lien on simplifie l'écriture de chacune des valeurs absolue en fonction de la valeur de $x$ en se rappelant que $|X| =X$ si $X\geq 0$ et $|X|= -X$ si $X\leq 0$.

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On découpe ensuite l'axe réel en fonction des intervalles trouvés plus haut. On fait ensuite tomber les valeurs absolues. On résout sur les 4 zones différentes.

Attention, pour le 2, on voit que la solution est $x\geq 1$ mais la zone 2 est $[-1,1]$ ! Donc la solution venant du 2 est donc $\{1\}$ et non pas $[1, \infty[$.

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On continue la résolution. La solution est l'union des quatres solutions.

Inégalité et rappel sur les méthodes

On fait un rapide rappel sur comment résoudre une inégalité de type fraction rationnelle.

Ici, on met tout sur le même dénominateur et on fait une étude de signe. C'est la méthode la plus sûre.

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Ici on souhaite multiplier par $x-1$. Le problème (et le danger !) est que l'on ne connait pas son signe. On fait donc une étude de cas en étudiant d'une part $x<1$ et d'autre part $x>1$.