On étudie maintenant une suite récurrente de type $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f$ décroissante. L'analyse est plus longue et de nouveaux phénomèmes apparaissent par rapport au cas où $f$ est croissante. Il est conseillé de bien maitrisé le cas croissant en premier.
On se propose ici d'étudier $u_{n+1}:= \frac{1}{u_n}+\frac{1}{2}$ avec $u_0:=\frac{1}{2}$. Le dessin en escargot nous permet de conjecturer que $(u_n)_n$ converge.
Ici on fera attention à la rédaction. Celle qui est proposée ici n'est pas "conventielle". On se reportera aux autres posts pour une "bonne" rédaction.
Ici on voit le point qui diffère par rapport au cas croissant. Le résultat obtenu est sur les suites d'index pairs et d'indices impaires.
La rédaction est importante. Il est crucial de bien préciser que $f$ est décroissante et que $(u_k)_k$ est dans le bon intervalle.
On passe au termes impaires assez simplement.
On déduit facilement que les suites convergent. Attention on ne sait pas si c'est vers la même limite !! Il faut le montrer. Il est possible de trouver des exemples où ces limites sont distinctes alors prenez gare !
La limite est la solution de $x = (f\circ f)(x)$. C'est un deuxième point de différence ! Le calcul peut-être pénible si l'exercice est donné au hasard.
Ici nous avons la chance de n'avoir qu'une seule solution dans l'intervalle $I$. Ce n'est pas une obligation en général !
Comme il n'existe une seule limite possible pour les deux suites extraites alors, en citant le théorème, on déduit que $(u_n)_n$ converge.
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