On s'intéresse ici à $u_{n+1}:= f(u_n)$ avec $f(x) = \frac{x+3}{2x}$ et $u_0:=1$.
On commence par trouver le sens de variation de $f$
On calcule les premiers termes
On montre par récurrence que la suite est bornée dans un certain intervalle. Ici l'exercice est guidé. Une difficulté est de trouver cet type d'intervalle en général. Pour cela, il peut-être utile d'utiliser un logiciel ou d'analyser finement le comportement de $f$.
On passe à la croissance de $(u_{2n})_n$. Dans le cas général, on sait juste quelle est monotone. On s'aide alors des deux premiers termes pour en savoir plus.
On conclue rapidement pour les termes impaires.
On cherche le point fixe de $(f\circ f)(x)=x$. Cette étape est toujours présente dans le cas où $f$ est décroissante.
Le choix de l'intervalle qui est fait plus haut est bon car il nous permet d'éliminer une autre limite possible. On conclue à la convergence de la suite et on donne sa limite.
Pour étudier la vitesse de convergence, cette technique est basée sur le fait que la dérivée est strictement plus petite que $1$ en module sur l'intervalle. Il faut parfois prendre un intervalle plus petit.
Cette partie est toujours la même. Elle est aussi une application des suites géométriques.
On obtient la vitesse de convergence.
On peut enfin conclure et donner une approximation précise.
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