Convergence d'aires implique convergence de longueurs ?

Pour approcher l'intégrale d'une fonction continue sur un compact, on utilise par exemple la méthode des rectangles.

En utilisant la fonction SommeInférieure(f, 0, 1, n) sous géogébra on obtient facilement :

Pour $f(x):= 1-x$ sur $[0,1]$ ici. La suite des aires des rectangles tend donc vers l'aire comprise entre la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées, c'est-à-dire $1/2$.

Maintenant on peut se demander si cette méthode approche aussi les longueurs. On regarde alors si le haut la somme des longueurs des triangles (sans l'hypoténuse) qui sont au dessus des rectangles (en noir sur le dessin) converge la longueur de l'hypoténuse du grand triangle (en rouge sur le dessin).

On voit que la longueur du trait vert est $2$ et cela pour tout $n\in \mathbb{N}^*$. En effet, c'est la même que la longueur de $[(0,0), (0,1)]$ plus celle de $[(0,0), (1,0)]$.

D'un autre côté, la longueur de l'hypoténuse du triangle initiale est $\sqrt{2}$, par Pythagore par exemple.

On en déduit que la convergence des aires n'implique pas celle des longueurs.