C'est exercice est très classique. Sa résolution est à maîtriser. L'étude est un peu plus longue que pour le cas croissant et peut-être plus délicate lors de la détermination de la limite.
On commence par une résolution graphique. On voit que la suite ne semble pas converger.
L'étude de la fonction doit être soignée. Ici l'erreur était de confondre la fonction avec sa valeur.
Ce passage est le même que dans le cas croissant. Il n'utilise que le fait que $f$ stabilise l'intervalle.
Contrairement au cas croissant on utilise deux fois la décroissance dans la récurrence.
Pour passer des termes pairs à impaires, ces deux petites lignes suffisent et une seconde récurrence est inutile.
Ici on voit tout de suite qu'il est possible de conclure sur la non-convergence de $(u_n)_n$. Cependant nous continuons l'exercice pour trouver les limites exactes des suites extraites.
Ici on utilise la continuité de $f$. Contrairement au cas croissant, c'est les points fixe de $f\circ f$ qui entrent en jeu.
On cherche les points fixes de $f \circ f$.
Ici on a la chance d'avoir $0$ et $1$ en racine évidente. Cependant on aurait pu se passer d'elle en se rappelant que si $f(l)=l$ alors $(f \circ f)(l)=l$, c'est-à-dire que les points fixes de $f$ sont aussi points fixes de $f \circ f$. C'est pour cela qu'on pouvait factoriser par $l^2+l-1$ directement.
Il suffit enfin d'exclure les limites possibles.
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