Systèmes linéaires sous-dimensionnés et unicité de la solution

Nous allons étudié un exemple de système linéaire sous-dimensionnée (pas assez d'équations par rapport au nombre d'inconnus). Pour illustrer ce propos, nous choisirons ce petit exercice issue des réseaux sociaux, e.g. sur youtube

Trouver la taille de la table

Mise à part le fait qu'il puisse être posé à un enfant très jeune, sa conception est amusante car la solution est unique bien que le système linéaire (canonique) associé soit sous-dimensionné.

Posons par exemple : $x$ taille de la table en cm, $c$ taille du chat en cm et $t$ taille de la tortue en cm. La mise en équation est donc :

\[(S):=\left\{\begin{array}{ll} x+ c-t &=170 \\ x-c+t &=130 \end{array}\right.\]

On voit que la matrice 

\[A=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&-1 \\ 1 &-1&1 \end{array}\right)\]

est de rang $2$. Par le théorème du rang, la solution de $(S)$ est une espace affine de dimension $1$.  C'est une droite dans $\mathbb{R}^3$. La solution, en termes de $(x,c,t)$ de $(S)$ n'est pas unique. 

Plus concrètement, on a :

\[(S)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} x+ c-t &=170, \\ 2x &=300, \quad L_1+L_2 \rightarrow L_2 \end{array}\right.\]

et donc

\[(S)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} c-t &=20 \\ x &=150, \end{array}\right.\]

La solution de $(S)$ est donc

\[\mathcal{S} = \{(130, c, c-20), c\in \mathbb{R}\}\]

Cependant, la solution au problème l'est car on ne s'intéresse pas à la solution globale du problème mais qu'à une seule de ses variables.