On regarde la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $u_0:=1/2$ et $u_{n+1}:= f(u_n)$, pour tout $n\in \mathbb{N}$ avec f(x):= 1/(1+x).
On commence par une résolution graphique.
Il semble que la suite $(u_{2n})_n$ est croissante et $(u_{2n+1})_n$ est décroissante et qu'elles sont adjacentes. La séparation en parité pour l'analyse de la suite est typique du cas $f$ décroissant.
On commence toujours par montrer que $f$ stabilise un intervalle bien senti.
On rappelle qu'il est crucial de montrer qu'une fonction est dérivable avant de la dériver !
L'étape 2 est de montrer la bornitude de la suite.
Cette étape est typique du cas décroissant et diffère du cas croissant (où il n'y a qu'une itération de la fonction $f$).
Cette photo étant un peu floue, on pourra regarder aussi ici où la preuve est identique.
On a donc que les suites paires et impaires convergent.
Ce qui est spécifique à cet exemple (et contrairement au cas d'ici) est que les deux suites sont adjacentes. On montre donc qu'elles ont la même limite. On en déduit ensuite la convergence de $(u_n)_n$. Il faut retenir la petite phrase !
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