Distance jusqu'à l'horizon - version collège/seconde

Préambule :

Le but de cet exercice est de calculer la distance jusqu`à l'horizon visible. La contrainte n'étant pas la capacité visuel du sujet mais bien la courbure de la Terre. Les outils nécessaires sont le théorème de Pythagore et tangente à un cercle.

Par delà des maths, cet exercice s'inscrit dans "comment prouver que la Terre n'est pas plate" avec un mini-budget et répond d'une certaine façon à la société de la Terre plate.

Exercice :

On suppose que la surface de la Terre est une sphère de rayon $R>0$ et de centre $0$. On fait une coupe transversale et on se ramène au cas où la surface de la Terre est une cercle de rayon $R>0$ et de centre $0$. Soit $A(0,a)$ la position de nos yeux. Ici $a$ est la hauteur de nos yeux calculée par rapport au centre de la Terre. En particulier $a>R$. 

Soit $g_A$ la tangente au cercle qui passe par $A$ et qui coupe le cercle en $B$ que l'on choisit d'abscisse positive.

Ici il faut faire attention au fait que la notion de tangente à un cercle est maintenant en seconde.

1) Admettre ou montrer que le triangle $AOB$ est rectangle en $B$.

2) Par Pythagore, montrer que la distance de $A$ à $B$ est donnée par :

\[d(A,B)= \sqrt{a^2 - R^2}.\]

Les applications sont les mêmes que pour le post précédent.

On commente maintenant la solution du 1). Partons avec la définition de la tangente $(D)$ comme la droite qui coupe le cercle en un seul point. On l'appelle $B$. Si l'angle entre la tangente et $(OA)$ n'est pas droit alors on considère $(D')$ la droite perpendiculaire à $(D)$ qui passe par $O$. Soit $C$ l'intersection entre $(D)$ et $(D')$. Par Pythagore, dans le triangle $OCB$ rectangle en $C$, on voit que $OC<OB$ alors $C$ est strictement dans le disque de centre $O$ et de rayon $R=OB$. En particulier, la droite $(D)$ rentre dans le cercle. Elle en ressort donc en un autre point [le vrai argument est un argument de compacité...]. Cet autre point est différent de $B$ [par convexité...]. Il y a une contradiction la définition de la tangente car elle coupe le cercle en un point unique.