Préambule :
Le but de cet exercice est de calculer la distance jusqu`à l'horizon visible. La contrainte n'étant pas la capacité visuel du sujet mais bien la courbure de la Terre. Les outils nécessaires sont le théorème de Pythagore et tangente à un cercle.
Par delà des maths, cet exercice s'inscrit dans "comment prouver que la Terre n'est pas plate" avec un mini-budget et répond d'une certaine façon à la société de la Terre plate.
Exercice :
On suppose que la surface de la Terre est une sphère de rayon R>0 et de centre 0. On fait une coupe transversale et on se ramène au cas où la surface de la Terre est une cercle de rayon R>0 et de centre 0. Soit A(0,a) la position de nos yeux. Ici a est la hauteur de nos yeux calculée par rapport au centre de la Terre. En particulier a>R.
Soit g_A la tangente au cercle qui passe par A et qui coupe le cercle en B que l'on choisit d'abscisse positive.
Ici il faut faire attention au fait que la notion de tangente à un cercle est maintenant en seconde.
1) Admettre ou montrer que le triangle AOB est rectangle en B.
2) Par Pythagore, montrer que la distance de A à B est donnée par :
d(A,B)= \sqrt{a^2 - R^2}.
Les applications sont les mêmes que pour le post précédent.
On commente maintenant la solution du 1). Partons avec la définition de la tangente (D) comme la droite qui coupe le cercle en un seul point. On l'appelle B. Si l'angle entre la tangente et (OA) n'est pas droit alors on considère (D') la droite perpendiculaire à (D) qui passe par O. Soit C l'intersection entre (D) et (D'). Par Pythagore, dans le triangle OCB rectangle en C, on voit que OC<OB alors C est strictement dans le disque de centre O et de rayon R=OB. En particulier, la droite (D) rentre dans le cercle. Elle en ressort donc en un autre point [le vrai argument est un argument de compacité...]. Cet autre point est différent de B [par convexité...]. Il y a une contradiction la définition de la tangente car elle coupe le cercle en un point unique.
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