Pour montrer ce résultat on propose une solution "à la main". Elle ne repose pas sur l'utilisation de le principe de la borne uniforme qui n'est plus au programme de l'agrégation. Cet exercice est tiré du site bibmath.
La convention prise pour la transformé de Fourier ici est $F(f)(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}} f(t) e^{-ixt}dt$.
La convention prise pour la transformé de Fourier ici est $F(f)(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}} f(t) e^{-ixt}dt$.
Le 1) est clair. Pour le 2), c'est classique. On commence par montrer l'existence de l'intégral. Attention la fonction n'est pas $L^1$, on a affaire à un intégrale impropre.
Pour montrer la bornitude et la continuité on procède par exemple en découpant l'intégrale en deux et en reportant la difficulté sur un cas plus simple, celui d'une intégrale d'une fonction continue sur une compact. On conclue grâce au théorème fondamentale de l'analyse (version Riemann en fait).
Une alternative pour la continuité est d'utiliser la convergence dominée.
Pour la question 3) on fait un Fubini. Pour cela on utilise Tonelli (cadre du bas) pour montrer que la fonction (de deux variables) est bien dans $L^1$.
4) On pousse maintenant $R\to \infty$. Le membre de gauche est une intégrale impropre et en générale pas une intégrale de Lebesgue !
On justifie alors la convergence dominée en faisant attention de ne pas faire apparaître le $R$.
5) On peut enfin conclure. On suppose qu'il existe $g\in C_0(\mathbb{R})$ qui soit la transformée de Fourier de $f$. La fonction $g$ est nécessairement impaire car $f$ l'est. On choisit $g(x)= 1/\ln(x)$ pour $x\geq 2$ et on la prolonge en une fonction impaire et continue (sur $[-2,2]$ il suffit de compléter par une droite). Comme $\int_1^\infty \frac{g(t)}{t}dt$ n'est pas convergente, on en déduit qu'il n'existe pas de $f\in L^1$ impaire telle que $\hat f=g$. La transformée de Fourier n'est donc pas surjective de $L^1$ dans $C_0$.
