Pour ceux qui avaient encore des doutes !
mardi 30 octobre 2018
samedi 20 octobre 2018
Sur la dérivation de $x\mapsto x^n$
Soit $f: I\to \mathbb{R}$ où $I$ est un interval et $a\in I$.
Le nombre dérivée de $f$ en un point $a$ est donné par
\[\lim_{x\to a} \frac{f(x)- f(a)}{x-a}.\]
Cette limite n'existe pas en générale. S'il existe on le note $f'(a)$. On dit que $f$ est dérivable en $a$.
Quand on demande de calculer le nombre dérivé il faut d'abord montrer que la limite existe avant de mettre le symbole $\lim$ devant le calcul.
Prenons le cas de $f(x)= x^n$ avec $a\in \mathbb{R}$. On a :
\begin{align*}\frac{x^n- a^n}{x-a} &= \frac{(x-a)(x^n + x^{n-1}a + x^{n-2} a^2+\ldots + a^n)}{x-a}\\ &= (x^n + x^{n-1}a + x^{n-2} a^2+\ldots + a^n).\end{align*}
Alors que la limite est indéterminée pour le membre de gauche, il n'est pas légal de mettre le symbole limite de prime abord. Cependant grâce à la dernière ligne, il n'y a plus d'indétermination, je peux donc passer à la limite. On continue la rédaction comme suit:
\begin{align*} \lim_{x\to a}\frac{x^n- a^n}{x-a} &= \lim_{x\to a} \underbrace{x^n + x^{n-1}a + x^{n-2} a^2+\ldots + a^n}_{ n\, {\rm termes}} = n a^n.\end{align*}
Cela étant dit, cette exercice est facile, mais rédactionnel, tant qu'on sait que
\[(x^n- a^n) = (x-a)(x^n + x^{n-1}a + x^{n-2} a^2+\ldots + a^n).\]
Si l'on ne demande pas de preuve et qu'on cherche juste à s'en souvenir, on peut par exemple faire une division euclidienne et voir comment se comportent les premiers termes :
Si l'on ne veut pas se lancer dans une récurrence, on peut aussi redémontrer cela en s'appuyant sur le cours des suites géométriques comme suit :
Correction de l'exercice sur la distance à l'horizon
Préambule : C'est une version alternative à l'article donné ici et qui va un peu plus loin. Il permet de réviser la notion de tangente à une courbe et la caractérisation de l'orthogonalité des droites dans le plan. C'est aussi une bonne application au théorème de Pythagore.
jeudi 18 octobre 2018
mercredi 17 octobre 2018
Eratosthène - participer au calcul mondial du rayon de la Terre
Chaque année les écoles du monde entier peuvent participer au calcul du rayon de la Terre grâce au site. Le calcul le fait au solstice d'hiver. En 2018, 1 512 écoles du monde entier sont venues apporter leur pierre à l'édifice.
mardi 16 octobre 2018
Rayon de la Terre et Eratosthène - version universitaire
Préambule : Cet article fait suite à la version collège du même nom. Les prérequis sont : théorème des accroissements finis et fonctions trigonométriques inverses.
Ici nous ferons l'hypothèse que la Terre est sphérique et mais plus l'hypothèse que les rayons du soleil sont parallèles. Le but de ce calcul est d'estimer l'erreur commise en supposant dans un premier temps qu'ils étaient parallèles.
Version interactive ici
En $A$ se trouve Syène (aujourd'hui Assouan). Le jour du solstice d'été à 12h, le soleil est à la verticale de la ville (car elle se trouve sur le tropique du Cancer). Erastothène le sait car le soleil éclaire le fond du puit.
En $B$ à la base de la bibliothèque d'Alexandrie (certains disent un bâton mais ils n'ont aucun sens du romanesque). $B'$ est le haut de la tour. $B''$ est l'ombre de la haut de la tour sur la Terre.
En $S$ se trouve le soleil en $O$ le centre de la terre de rayon $R$. On note par $\gamma$ l'angle $\widehat{OSB'}$. On a $\alpha:=\widehat{SOB}$ et $\beta:=\widehat{OB'B''}$. Les angles sont donnés en radians. On note par $\overset{\huge\frown}{AB\:}$ la longueur de l'arc de cercle allant de $A$ à $B$. Cette longueur est une donnée connue et $\beta$ aussi.
Etape 1 : L'angle $\widehat{DB'B}= \pi - \beta$. Donc, en considérant le triangle $OB'S$, comme la somme des angles fait $\pi$, on voit que $\alpha+\gamma +(\pi -\beta) = \pi$. En particulier
$\alpha = \beta - \gamma$.
Etape 2 : On en déduit:
\[R = \displaystyle \frac{\overset{\huge\frown}{AB\:}}{\alpha} = \frac{\overset{\huge\frown}{AB\:}}{\beta - \gamma}= \frac{\overset{\huge\frown}{AB\:}}{\beta}\frac{1}{1-\frac{\gamma}{\beta}} = \frac{\overset{\huge\frown}{AB\:}}{\beta}(1+o(1)),\]
quand $\gamma\to 0$. Comme $\gamma$ est très petit et fini, il faut estimer le $o(1)$ avec plus de finesse. On utilise le théorème des accroissements finis avec $f(x)=1/(1-x)$ qui est $\mathcal{C}^1(]-1/2, 1/2[)$ et les points $0$ et $\gamma/\beta$ (qui appartient bien à cet interval car $\gamma$ est très petit à la fin). Comme
\[\max_{x\in ]-1/2, 1/2[}|f'(x)|\leq 4,\]
On en déduit que
\[\displaystyle \left|R - \frac{\overset{\huge\frown}{AB\:}}{\beta} \right| = \left|\frac{\overset{\huge\frown}{AB\:}}{\beta} f\left(\frac{\gamma}{\beta}\right) - \frac{\overset{\huge\frown}{AB\:}}{\beta} f(0) \right|\leq 4\frac{\gamma}{\beta}.\]
Etape 3 : On estime $\gamma$ sans faire intervenir le rayon de la Terre.
Une mauvaise façon de faire est d'utiliser la loi des sinus dans le triangle $OB'S$, on a :
On déduit alors que :
\[R = \displaystyle \frac{\overset{\huge\frown}{AB\:}}{\alpha} = \frac{\overset{\huge\frown}{AB\:}}{\beta - \gamma}= \frac{\overset{\huge\frown}{AB\:}}{\beta}\frac{1}{1-\frac{\gamma}{\beta}} = \frac{\overset{\huge\frown}{AB\:}}{\beta}(1+o(1)),\]
quand $\gamma\to 0$. Comme $\gamma$ est très petit et fini, il faut estimer le $o(1)$ avec plus de finesse. On utilise le théorème des accroissements finis avec $f(x)=1/(1-x)$ qui est $\mathcal{C}^1(]-1/2, 1/2[)$ et les points $0$ et $\gamma/\beta$ (qui appartient bien à cet interval car $\gamma$ est très petit à la fin). Comme
\[\max_{x\in ]-1/2, 1/2[}|f'(x)|\leq 4,\]
On en déduit que
\[\displaystyle \left|R - \frac{\overset{\huge\frown}{AB\:}}{\beta} \right| = \left|\frac{\overset{\huge\frown}{AB\:}}{\beta} f\left(\frac{\gamma}{\beta}\right) - \frac{\overset{\huge\frown}{AB\:}}{\beta} f(0) \right|\leq 4\frac{\gamma}{\beta}.\]
Etape 3 : On estime $\gamma$ sans faire intervenir le rayon de la Terre.
Une mauvaise façon de faire est d'utiliser la loi des sinus dans le triangle $OB'S$, on a :
$\displaystyle \frac{OB'}{\sin(\gamma)} = \frac{OS}{\sin(\pi - \beta)}=\frac{OS}{\sin(\beta)}$.
On déduit alors que :
$\displaystyle \sin(\gamma)= \frac{OB'\times \sin(\beta)}{OS}.$
et
$\displaystyle \gamma= \arcsin\left(\frac{OB'\times \sin(\beta)}{OS}\right),$
On introduit alors $D$, le point de coordonnées $(R, \overset{\huge\frown}{AB\:}+BB')$.
On a que $\gamma':= \widehat{ASD}$ est plus grand que $\gamma$. De plus le triangle $ASD$ est rectangle en $A$. On a que
\[\gamma' = \displaystyle\arctan\left(\frac{DA}{AS}\right).\]
On conclue alors que
\[\displaystyle \left|R - \frac{\overset{\huge\frown}{AB\:}}{\beta} \right| \leq 4\frac{\arctan\left(\frac{DA}{AS}\right)}{\beta}.\]
car $\gamma$ est très petit et en particulier dans $]-\pi, \pi[$ (ce qui permet de passer à la fonction inverse). En faisant comme cela on voit que $\gamma$ dépend de $R$, ce qui est très mauvais car on cherche à l'estimer.
On introduit alors $D$, le point de coordonnées $(R, \overset{\huge\frown}{AB\:}+BB')$.
\[\gamma' = \displaystyle\arctan\left(\frac{DA}{AS}\right).\]
On conclue alors que
\[\displaystyle \left|R - \frac{\overset{\huge\frown}{AB\:}}{\beta} \right| \leq 4\frac{\arctan\left(\frac{DA}{AS}\right)}{\beta}.\]
On prend alors les valeurs numériques suivantes :
\[AS = 152 \times 10^9 m, AB = 850\, 000 m, BB' = 90 m\]
On a pris une distance terre-soleil valable pour le solstice d'été, la distance moderne mesurée entre Alexandrie et Assouan, la hauteur de la tour de la bibliothèque d'Alexandrie (prise au hasard !!). On rappelle aussi qu'Eratostène avait mesuré $\beta = 7,2$ degrés. On a :
\[4\frac{\arctan\left(\frac{DA}{AS}\right)}{\beta} \simeq 1,8\cdot 10^{-4}.\]
Cela prouve que
\[R= \frac{\overset{\huge\frown}{AB\:}}{\beta} \text{ à } 2\cdot 10^{-4} \text{ près.}\]
On laisse au lecteur le soin d'améliorer cette borne en utilisant un peu mieux que $\gamma/\beta<1/2$ mais l'on voit que cela n'est franchement pas nécessaire à la vue de la méthode de calcul peu précise.
On laisse au lecteur le soin d'améliorer cette borne en utilisant un peu mieux que $\gamma/\beta<1/2$ mais l'on voit que cela n'est franchement pas nécessaire à la vue de la méthode de calcul peu précise.
L'hypothèse faite par Eratosthène de prouver que les rayons du soleil sont parallèles est donc totalement justifiée. On obtient à nouveau
\[R\simeq 6\, 764 km.\]
Pour améliorer le résultat il faudrait un calcul de l'angle $\beta$ plus précis.
lundi 15 octobre 2018
Rayon de la Terre et Eratosthène - version collège
Préambule : On explique ici comment Eratosthène a calculé le périmètre de la Terre en supposant qu'elle était ronde. Notions mises en jeu : angles alternes-internes, distance sur la sphère en fonction de l'angle.
Eratosthène était un mathématicien grec du IIIème siècle avant JC. Mis-à-part sa célèbre formule du crible il est aussi connu pour avoir calculé la circonférence de la Terre avec 1% d'erreur par rapport à la valeur connue. Il convient de préciser que la Terre n'est pas une vraie sphère mais qu'elle est aplatie aux pôles. Plusieurs sources sur le web traitent ce sujet. La version de David Louarpe est bien rédigée mais je ne suis pas d'accord avec lui sur le fait qu'il faille qu'ils soient sur le même méridien.
Version itérative ici
Eratosthène fait deux hypothèses. La première que la Terre est ronde (hypothèse naturelle de part un peuple grec et marin qui voient les voiles disparaître après la coque du bateau quand il s'éloigne) et aussi que les rayons du soleil sont parallèles. Cette dernière hypothèse semble exagérée mais comme nous verrons dans la version universitaire de ce sujet, ce n'est pas une mauvaise approximation car le soleil est très loin de la Terre.
En $A$ se trouve Syène (aujourd'hui Assouan). Le jour du solstice d'été à 12h, le soleil est à la verticale de la ville (car elle se trouve sur le tropique du Cancer). Il le sait car il éclaire le fond du puit.
En $B$ à la base de la bibliothèque d'Alexandrie (certains disent un bâton mais ils n'ont aucun sens du romanesque). Il était par ailleurs à la tête de la bibliothèque. $B'$ est le haut de la tour. $B''$ est l'ombre de la haut de la tour sur la Terre.
Comme les rayons du soleil sont parallèles et que $\alpha$ et $\beta$ sont alternes-internes, on en déduit que $\alpha=\beta$. Ensuite il connaissait la distance en les deux villes grâce aux trajets qui étaient fait par chameaux à l'époque. Elle faisait $5\, 000$ stades, soit $787\, 500$ mètres. L'angle $\beta$ faisait $7,2$ degrés.
On se rappelle ensuite que $AB = R \times 7,2 \times \frac{\pi}{180}$, ici je convertis les degrés en radians et je note par $R$ le rayon de la Terre.
On obtient donc $R = \frac{180\times 787 500}{\pi\times 7,2}\simeq 6\, 266$ km.
En prenant la distance à vol d'oiseau obtenue sur google maps entre les deux villes, on obtient
$R = \frac{180\times 850 000}{\pi\times 7,2}\simeq 6\, 764$ km.
Ces deux valeurs sont plutôt bonnes car le rayon polaire (passant par les deux pôles) fait $6\, 357$ km.
Pour obtenir le périmètre, on se souvient qu'il est donné par $2 \pi R$.
jeudi 11 octobre 2018
Distance jusqu'à l'horizon - version collège/seconde
Préambule :
Le but de cet exercice est de calculer la distance jusqu`à l'horizon visible. La contrainte n'étant pas la capacité visuel du sujet mais bien la courbure de la Terre. Les outils nécessaires sont le théorème de Pythagore et tangente à un cercle.
Par delà des maths, cet exercice s'inscrit dans "comment prouver que la Terre n'est pas plate" avec un mini-budget et répond d'une certaine façon à la société de la Terre plate.
Exercice :
On suppose que la surface de la Terre est une sphère de rayon $R>0$ et de centre $0$. On fait une coupe transversale et on se ramène au cas où la surface de la Terre est une cercle de rayon $R>0$ et de centre $0$. Soit $A(0,a)$ la position de nos yeux. Ici $a$ est la hauteur de nos yeux calculée par rapport au centre de la Terre. En particulier $a>R$.
Soit $g_A$ la tangente au cercle qui passe par $A$ et qui coupe le cercle en $B$ que l'on choisit d'abscisse positive.
Ici il faut faire attention au fait que la notion de tangente à un cercle est maintenant en seconde.
1) Admettre ou montrer que le triangle $AOB$ est rectangle en $B$.
2) Par Pythagore, montrer que la distance de $A$ à $B$ est donnée par :
\[d(A,B)= \sqrt{a^2 - R^2}.\]
Les applications sont les mêmes que pour le post précédent.
On commente maintenant la solution du 1). Partons avec la définition de la tangente $(D)$ comme la droite qui coupe le cercle en un seul point. On l'appelle $B$. Si l'angle entre la tangente et $(OA)$ n'est pas droit alors on considère $(D')$ la droite perpendiculaire à $(D)$ qui passe par $O$. Soit $C$ l'intersection entre $(D)$ et $(D')$. Par Pythagore, dans le triangle $OCB$ rectangle en $C$, on voit que $OC<OB$ alors $C$ est strictement dans le disque de centre $O$ et de rayon $R=OB$. En particulier, la droite $(D)$ rentre dans le cercle. Elle en ressort donc en un autre point [le vrai argument est un argument de compacité...]. Cet autre point est différent de $B$ [par convexité...]. Il y a une contradiction la définition de la tangente car elle coupe le cercle en un point unique.
mercredi 10 octobre 2018
Distance jusqu'à l'horizon - La Terre est ronde !
Préambule :
Le but de cet exercice est de calculer la distance jusqu`à l'horizon visible. La contrainte n'étant pas la capacité visuel du sujet mais bien la courbure de la Terre. Les outils nécessaires sont la dérivation de la fonction racine et le calcul de l'équation d'une tangente à une courbe.
Par delà des maths, cet exercice s'inscrit dans "comment prouver que la Terre n'est pas plate" avec un mini-budget et répond d'une certaine façon à la société de la Terre plate.
Exercice :
On suppose que la Terre est une sphère de rayon $R>0$. On la modélise par la courbe d'équation $f(x):= \sqrt{R^2-x^2}$. Soit $A(0,a)$ la position de nos yeux. Ici $a$ est la hauteur de nos yeux calculée par rapport au centre de la Terre. En particulier $a>R$.
Soit $g_A$ la tangente à $f$ qui passe par $A$ et qui coupe $f$ en un point $B(x_a,f(x_a))$ d'abscisse positive.
1) Donner le domaine de définition de $f$.
2) Expliquer graphiquement pourquoi $x_a\in ]0, R[$.
3) Expliquer graphiquement le comportement de $A$ quand $x_a$ tend vers $0$ ou vers $R$.
4) Montrer que
\[g_a(x)= \frac{x_a(x_a-x)}{\sqrt{R^2-x_a^2}} + \sqrt{R^2-x_a^2}. \]
5) En se rappelant que $g_a(0)=a$, déduire que
\[x_a= \frac{R}{a}\sqrt{a^2-R^2}.\]
6) Montrer que
\[f(x)= \frac{R^2}{a}.\]
7) Déduire que la distance de $A$ à $B$ est donnée par :
\[d(A,B)= \sqrt{a^2 - R^2}.\]
Application :
En prenant pour rayon de la Terre $R= 6 400$ km (ce qui est un peu plus que la réalité mais plus commode à retenir), on a :
$\begin{array}{|c|c|}\hline \text{hauteur p/r au sol en mètre} & \text{distance à l'horizon en km}\\ \hline 2 & 5 \\ \hline 20 & 16 \\ \hline 200 & 51 \\ \hline \end{array}$
Distance visible du bas de la dune du Pyla
Distance visible du haut de la dune du Pyla (100 m)
Pour démontrer que la Terre n'est pas plate, il suffit donc par exemple de se munir de bonnes jumelles et de demander à un bâteau de s'éloigner de la dune. Un premier témoin en bas de la dune le verra donc moins longtemps qu'un témoin tout en haut.
En prenant la vitesse linéaire de rotation de la Terre à Bordeaux ici on trouve 331 m/s. Il y 30 km de plus à faire entre les deux horizons. En faisant un produit en croix on voit que le coucher de soleil, vu du haut de dune du Pyla, se fera environ 90 secondes plus tard que vu d'en bas !
NB : Ici on a fait 35 km -5 km pour trouver 30 km. Ce calcul peut sembler grossier c'est la distance entre $B_{\text{haut}}$ et $B_{\text{bas}}$ qui importe et non (distance entre $A_{\text{haut}}$ et $B_{\text{haut}}$ - distance entre $A_{\text{bas}}$ et $B_{\text{bas}}$) comme on vient de prendre. On peut faire le calcul. On note $O$ le centre de la Terre. Les triangles $OB_{\text{haut}}A_{\text{haut}}$ et $OB_{\text{bas}}A_{\text{bas}}$ sont rectangles en $B_{\text{haut}}$ et $B_{\text{bas}}$ respectivement. Du coup l'angle non-orienté $\widehat{B_{\text{haut}}OA_{\text{haut}}}$ est donné par $\arctan(35/6400)$. De même $\widehat{B_{\text{bas}}OA_{\text{bas}}}$ est donné par $\arctan(5/6400)$. La longueur "curviligne" (en suivant la courbure de la Terre) entre $B_{\text{haut}}$ et $B_{\text{bas}}$ est alors
\[ 6400 \times\left(\arctan(35/6400)- \arctan(5/6400)\right)\simeq 30 \text{ km.}\]
NB : Ici on a fait 35 km -5 km pour trouver 30 km. Ce calcul peut sembler grossier c'est la distance entre $B_{\text{haut}}$ et $B_{\text{bas}}$ qui importe et non (distance entre $A_{\text{haut}}$ et $B_{\text{haut}}$ - distance entre $A_{\text{bas}}$ et $B_{\text{bas}}$) comme on vient de prendre. On peut faire le calcul. On note $O$ le centre de la Terre. Les triangles $OB_{\text{haut}}A_{\text{haut}}$ et $OB_{\text{bas}}A_{\text{bas}}$ sont rectangles en $B_{\text{haut}}$ et $B_{\text{bas}}$ respectivement. Du coup l'angle non-orienté $\widehat{B_{\text{haut}}OA_{\text{haut}}}$ est donné par $\arctan(35/6400)$. De même $\widehat{B_{\text{bas}}OA_{\text{bas}}}$ est donné par $\arctan(5/6400)$. La longueur "curviligne" (en suivant la courbure de la Terre) entre $B_{\text{haut}}$ et $B_{\text{bas}}$ est alors
\[ 6400 \times\left(\arctan(35/6400)- \arctan(5/6400)\right)\simeq 30 \text{ km.}\]
Suite récurrente - cas d'une fonction décroissante - convergence
On regarde la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $u_0:=1/2$ et $u_{n+1}:= f(u_n)$, pour tout $n\in \mathbb{N}$ avec f(x):= 1/(1+x).
On commence par une résolution graphique.
Il semble que la suite $(u_{2n})_n$ est croissante et $(u_{2n+1})_n$ est décroissante et qu'elles sont adjacentes. La séparation en parité pour l'analyse de la suite est typique du cas $f$ décroissant.
On commence toujours par montrer que $f$ stabilise un intervalle bien senti.
On rappelle qu'il est crucial de montrer qu'une fonction est dérivable avant de la dériver !
L'étape 2 est de montrer la bornitude de la suite.
Cette étape est typique du cas décroissant et diffère du cas croissant (où il n'y a qu'une itération de la fonction $f$).
Cette photo étant un peu floue, on pourra regarder aussi ici où la preuve est identique.
On a donc que les suites paires et impaires convergent.
Ce qui est spécifique à cet exemple (et contrairement au cas d'ici) est que les deux suites sont adjacentes. On montre donc qu'elles ont la même limite. On en déduit ensuite la convergence de $(u_n)_n$. Il faut retenir la petite phrase !
Journée IREM
La prochaine journée IREM sera le mercredi 7 novembre.
Il y aura une conférence plénière "Jeux combinatoires : du labo à la classe" de Eric Duchêne et des ateliers aux thèmes et niveaux d'enseignement variés animés par les groupes IREM ainsi que des intervenants de Maths à Modeler Bordeaux et Maison pour la science.
Programme détaillé
Formulaire d'inscription
La date limite d'inscription indiquée sur le formulaire n'est que pour les collègues du secondaire.
Vous êtes les bienvenus, cette journée n'est pas réservée aux membres de l'IREM, et j'espère que tout ou partie vous intéressera.
Il y aura une conférence plénière "Jeux combinatoires : du labo à la classe" de Eric Duchêne et des ateliers aux thèmes et niveaux d'enseignement variés animés par les groupes IREM ainsi que des intervenants de Maths à Modeler Bordeaux et Maison pour la science.
Programme détaillé
Formulaire d'inscription
La date limite d'inscription indiquée sur le formulaire n'est que pour les collègues du secondaire.
Vous êtes les bienvenus, cette journée n'est pas réservée aux membres de l'IREM, et j'espère que tout ou partie vous intéressera.
lundi 8 octobre 2018
Convergence d'aires implique convergence de longueurs ?
Pour approcher l'intégrale d'une fonction continue sur un compact, on utilise par exemple la méthode des rectangles.
En utilisant la fonction SommeInférieure(f, 0, 1, n) sous géogébra on obtient facilement :
En utilisant la fonction SommeInférieure(f, 0, 1, n) sous géogébra on obtient facilement :
Pour $f(x):= 1-x$ sur $[0,1]$ ici. La suite des aires des rectangles tend donc vers l'aire comprise entre la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées, c'est-à-dire $1/2$.
Maintenant on peut se demander si cette méthode approche aussi les longueurs. On regarde alors si le haut la somme des longueurs des triangles (sans l'hypoténuse) qui sont au dessus des rectangles (en noir sur le dessin) converge la longueur de l'hypoténuse du grand triangle (en rouge sur le dessin).
On voit que la longueur du trait vert est $2$ et cela pour tout $n\in \mathbb{N}^*$. En effet, c'est la même que la longueur de $[(0,0), (0,1)]$ plus celle de $[(0,0), (1,0)]$.
D'un autre côté, la longueur de l'hypoténuse du triangle initiale est $\sqrt{2}$, par Pythagore par exemple.
On en déduit que la convergence des aires n'implique pas celle des longueurs.
Systèmes linéaires sous-dimensionnés et unicité de la solution
Nous allons étudié un exemple de système linéaire sous-dimensionnée (pas assez d'équations par rapport au nombre d'inconnus). Pour illustrer ce propos, nous choisirons ce petit exercice issue des réseaux sociaux, e.g. sur youtube
Trouver la taille de la table
Mise à part le fait qu'il puisse être posé à un enfant très jeune, sa conception est amusante car la solution est unique bien que le système linéaire (canonique) associé soit sous-dimensionné.
Posons par exemple : $x$ taille de la table en cm, $c$ taille du chat en cm et $t$ taille de la tortue en cm. La mise en équation est donc :
\[(S):=\left\{\begin{array}{ll} x+ c-t &=170 \\ x-c+t &=130 \end{array}\right.\]
On voit que la matrice
\[A=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&-1 \\ 1 &-1&1 \end{array}\right)\]
est de rang $2$. Par le théorème du rang, la solution de $(S)$ est une espace affine de dimension $1$. C'est une droite dans $\mathbb{R}^3$. La solution, en termes de $(x,c,t)$ de $(S)$ n'est pas unique.
Plus concrètement, on a :
\[(S)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} x+ c-t &=170, \\ 2x &=300, \quad L_1+L_2 \rightarrow L_2 \end{array}\right.\]
et donc
\[(S)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} c-t &=20 \\ x &=150, \end{array}\right.\]
La solution de $(S)$ est donc
\[\mathcal{S} = \{(130, c, c-20), c\in \mathbb{R}\}\]
Cependant, la solution au problème l'est car on ne s'intéresse pas à la solution globale du problème mais qu'à une seule de ses variables.
jeudi 4 octobre 2018
lundi 1 octobre 2018
Suite récurrente, cas d'une fonction décroissante, non-convergence
C'est exercice est très classique. Sa résolution est à maîtriser. L'étude est un peu plus longue que pour le cas croissant et peut-être plus délicate lors de la détermination de la limite.
On commence par une résolution graphique. On voit que la suite ne semble pas converger.
L'étude de la fonction doit être soignée. Ici l'erreur était de confondre la fonction avec sa valeur.
Ce passage est le même que dans le cas croissant. Il n'utilise que le fait que $f$ stabilise l'intervalle.
Contrairement au cas croissant on utilise deux fois la décroissance dans la récurrence.
Pour passer des termes pairs à impaires, ces deux petites lignes suffisent et une seconde récurrence est inutile.
Ici on voit tout de suite qu'il est possible de conclure sur la non-convergence de $(u_n)_n$. Cependant nous continuons l'exercice pour trouver les limites exactes des suites extraites.
Ici on utilise la continuité de $f$. Contrairement au cas croissant, c'est les points fixe de $f\circ f$ qui entrent en jeu.
On cherche les points fixes de $f \circ f$.
Ici on a la chance d'avoir $0$ et $1$ en racine évidente. Cependant on aurait pu se passer d'elle en se rappelant que si $f(l)=l$ alors $(f \circ f)(l)=l$, c'est-à-dire que les points fixes de $f$ sont aussi points fixes de $f \circ f$. C'est pour cela qu'on pouvait factoriser par $l^2+l-1$ directement.
Il suffit enfin d'exclure les limites possibles.
Suite récurrente, cas d'une fonction croissante
C'est un exercice très classique dont la preuve est à maîtriser.
On commence par la résolution graphique pour se convaincre du résultat.
Il est important de justifier qu'une fonction est dérivable avant de la dériver.
Ici on utilise la stabilité de l'intervalle par $f$.
Ici on utilise la croissance de $f$.
Enfin ici on utilise la continuité de $f$.
Tracer d'une suite récurrente - Geogebra
En s'inspirant très fortement du site de Michel Caron. Voici un lien interactif pour étudier graphiquement les suites récurrentes de type $u_{n+1}= f(u_n)$.
Un code en python est donné ici.
Un code en python est donné ici.
Cependant, le jour de l'oral, on a peut-être pas le temps d'écrire un joli programme. Voici une vidéo qui montre comment s'en sortir en moins de 4 minutes.
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