Ici on cherche la racine $n$-ième d'un nombre complexe. Si $n=2$, on peut donner cette exercice au hasard et se reporter au post précédent pour obtenir la forme algébrique. Ici, la méthode repose sur le fait que l'on connait la forme exponentielle du nombre dont on veut prendre la racine $n$-ième.
D'un point de vue rédactionnel, on n'oublie pas de mentionner l'unicité de l'écriture exponentielle.
Une erreur courante est le passage de $5\theta$ à $\theta$. Il ne faut pas oublier de diviser les $2k\pi$.
Pour obtenir les $5$ racines, on prend $5$ "k" qui se suivent. Ici on prend $k=0, 1, 2, 3, 4$.
On peut aller beaucoup plus loin dans l'analyse et les propriétés de ces solutions. Voir par exemple ici.
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