Ici on s'intéresse aux équations polynomiales d'ordre deux à coefficients complexes. La difficulté réside dans le fait qu'il faut trouver une "racine carrée" du $\Delta$, c'est-à-dire un $\delta$ tel que $\delta^2=\Delta$.
Attention on n'écrit surtout pas $\sqrt{\Delta}$ qui a un sens assez avancé et dépasse de loin cette discussion (il faudrait une choisir une détermination du log...).
Comme on a pris l'exercice au hasard (et qu'il fait bien les choses), on ne connait pas explicitement $\Delta$ sous forme exponentielle. On cherche donc $\delta$ sous forme algébrique.
On résout le système sans fair appel à une astuce quelconque.
On tombe sur une équation d'ordre 4 qui se ramène à une équation d'ordre 2 en posant $x=b^2$. Comme $b^2\geq 0$, on peut éliminer une des deux solutions en $x$. On trouve que $b= \pm$ une expression.
En se rappelant la troisième ligne du système, on voit qu'à chaque choix d'un signe pour $b$ on trouve un (et un seul) $a$ possible. Il y a donc bien deux solutions à $\delta^2=\Delta$.
Il ne reste plus qu'à revenir au problème initial pour conclure.
La première méthode est un peu longue. On présente maintenant une astuce qui nous permet de gagner du temps. L'idée est de s'appuyer sur le fait que $|\delta|^2= |\delta^2|= |\Delta|$. Cela nous donne une ligne en $a^2+b^2$ gratuitement.
La résolution est directe.
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